その内容は、確かに昔話でありますね。ただ、鹿ではなくて「狛犬」だったはずですが…
タイトルは覚えていません。たぶん見つかると思うので、ちょっと探してみます。

同様の内容の話を昔読んだことがあります。
ただ、「鹿」でも「狛犬」でもなく「卒塔婆」でした。
タイトルは「そとば（卒塔婆）の血」。昔話集に入っていました。
もしかしたら色々なパターンがあるのかもしれませんね。

情報たいへんありがとうございました、
頂いた情報をもとにもう少し調べてみたいと思います。
なお、引き続き御存知の方がいらっしゃいましたら、
宜しくお願い致します。
書きこみが遅れて済みませんでした。

週末に図書館で雨宿りをしがてら児童書の昔話のコーナーを見てみたら、
ズバリな話を見つけました。
「シカの目玉が赤くなるとき」内容はご記憶の通りです。
偕成社文庫「日本の伝説　南日本編」に収録されています。
徳島県の伝説だそうです。なるほど、シカですねえ。

「鹿の目が赤く…」のお話ですが、まだ確証がないのですが、中国のごく古い説話にも同じような内容の話があるそうで、たぶんその話が元になって「○○の目が赤くなると、大洪水が」という筋の伝説はいくつものバリエーションがあるらしいです。
狛犬の話は結局まだ見つかっていません。ごめんなさいです。

石像などに色を塗ったが故に洪水が起こるという話は、確かにあちこちにあるようですね。
卒塔婆というのはおそらく、中国の「エ（漢字が出ません。。）南子（えなんじ）」、「捜神記」、「術異記」から「今昔物語集」、「宇治拾遺物語」へと、形を変えながら記載されたものではないかと思われます。
伝説としてならば、別府地方を中心に、神像（石像、地蔵尊、弁天像、恵比寿様など）の顔（鼻）を赤く塗った時に島が沈むという言い伝えが的中するというものがあり、それを参考に菊池寛が「亡兆」という話を書いています。
全てを確認したわけではないので言い切れないのですが、シカの「目」というのは、菊池寛の作品からの影響があるのではないかという気も、少し致します。
「亡兆」では、高麗狗の目が赤く塗られていますので……。

しばらく仕事に本腰を入れている間に多くの情報をありがとうございます。

教えてくださった皆さんへの御挨拶が遅れましたことをお許し下さいませ。

家族を図書館に派遣した結果、
おっしゃる通り「鹿の目玉が赤くなるとき」でドンピシャでした。
こんなにそのままの題名なのに何故見つからなかったのか謎ですね。
でめきん様、ありがとうございました。

金目の猫様、卒塔婆も心の片隅においておいて、
図書館に行くときは気にしてみます。

t-hope様、詳細に教えて頂き感謝します。
バリエーションを知るのも楽しいでしょうね。

あらためて御三方に深く御礼申し上げます。