あかね書房発行の、「少年少女世界SF文学全集６巻」の中に『四次元世界の秘密』という題の本がありました。作家は「Ｌ・Ｐ・デービス」、原題は「Dimension A 」です。
お探しの本ではないかもしれませんが…
内容は、四次元世界の扉を開いてしまった科学者は、四次元世界の中に吸い込まれてしまい、その場を目撃した少年は、何とか博士を助けようとしますが、四次元世界の扉を開いた機械は壊れてしまっている。何とか友人と機械を修理した少年は、博士を救出する為に、不思議な四次元世界へと足を踏み込む。という内容です。

ハードカバー(大きい本）か文庫かどちらでした？
先の方があげられたものと、早川のSF文庫で『異次元への冒険』というのが思い当たりますが…。
こちらは偶然発見された異次元への転送装置が事故（テロ？）で暴走して、シカゴの町が丸ごと異次元へ転送されるというものでした。わりと住みやすかったその地で、人々はまた、転送装置を作りますが、もとの世界より、その世界を選ぶというものでした。
他にもあったかもしれませんが・・・。

既に絶版ですが・・・
あかね書房の国際児童文学賞全集に
「五次元世界のぼうけん」M・レングル作
　渡辺茂男・訳　というのがあるそうです。
内容は、姉さんのメグと小さい弟のチャールズが
非人間的な完全に管理された世界に行って
洗脳されそうになったりしながら、管理社会と
闘う話だそうです。
A5判箱入・全２４巻　人気の全集の中の一冊です。
年代的にも合ってますが、この本では？

　皆様、お世話様でした！　大変参考になりました。

　もしかしたら　れいさんの教えて下さった本かもしれません。

　本はハード・カバーで、私の記憶違いかもしれませんが、何か魔法使いが出た
ような・・・、な訳無いかもですが・・・。
　確かなのは、最初頃にその人か誰かが、１から４次元の説明をするシーン
だったり。
　当時は結構　適当に読みつつ、気になっている本なのです。　

> 　本はハード・カバーで、私の記憶違いかもしれませんが、何か魔法使いが出た
> ような・・・、な訳無いかもですが・・・。
> 　確かなのは、最初頃にその人か誰かが、１から４次元の説明をするシーン
> だったり。
ということですが、たつさんが情報提供されている『五次元世界の冒険』の中に、異次元から来たワトシット夫人、ウイッチ夫人、フー夫人が、メグたちに一次元から五次元の説明をする場面があります。小学校の図書館で読んだ本で、えんじ色のハードカバーでした。夏にもう一度読みたくて探したところ、鳥取県立図書館から借りることができました。

レスが遅すぎの感もありますが、情報だけ書き込みます。
お探しの本はマデリーン・レングル著「五次元世界の冒険」原題"A　Wrinkle in Time"であかね書房より国際児童文学賞全集の9として1965年に出版されています。
ご覧になった赤い本というのはこれのことです。残念なことに現在は絶版になっていますが原書ではペーパーバック版もハードカバー版も容易に入手できます。

本作品は、Wrinkleシリーズの第1作で、続編があります。"A Wind in the Door""A Swiftly tilting Planet" "Many Watwers" この4部作です。
「五次元世界…」の翻訳版では割愛されていたメグとチャールズの間にいる双子の兄弟のが活躍するのが第4作です。

復刊の予定は立っていないようです。比較的読みやすい文章ですので原作を読まれたらいかがでしょうか。